Không gian N chiều là gì?

T S C H H A I TT

7 + NGUYEN CANH TOAN bi~n son

KNG GIAN N CI~U Li cl ?

Tai li~u tam kho cho cc gio vi~n Toan c~p II v~ e~p III

- otoanhoc29l1@gmail.com -

NIH~ XU~T B~N GIA0 DUC

HA-NQI -- 1963

LI N~I BU

« Khong gian n chi~u » l: m~t trong nh~ng sing tao quan trong v~o bc nht ca cc nh ton hoc. Nh c~ n~ m khoa hoc c~ th~m mt con cu nghi~n ciru dlc le. Bon duy tm ph~n t@ng tht d ting lei dung th~nh tuu khoa hoc n y ad~ nbi d~n nhing « chi~u » mi chi cd c~ dng th~n linh m~i nh~n thrc dugc. Con nh~ng ngu&ri hi~u bi~t it ve to~n hoc thi, tuy khong tin bon duy t~m, nhung c~ng thtrrng bn khon v~ cic ôchi~u » th tu, tht n~m v.v...

Bari viy, chng toi vi~t quyen s~ch nh~ nay nh~m ph bi~n th:nh tru khoa hoc ni tr~n cho nh~rung ngu~i e trinh d ton lip 10. Quyen s~ch cd th~ phue vu cc d6i tung sau d a y : -- C~c dng chi gi~o vi~n ton c?p I e6 th~ doc n~ db n&ng cao th~m hi~u bi~t vi do d~ s~u sic hon Iron vi~c hoc t?hp v? gi~ng day ton hoc. Cc dng chi gio vi~n to~n cp III c~ng c~ the tim thy G d~y nhirng ki~n th~re m~i m le ~ tr~ng Dai hoc king c~ thi gii trinh b y ; nggoii ra, c~c d~ng chi cd mn? sir dung l:m t:i li~u ngoai kh~a cho hoc sinh gi~i l~p 10. - C c d~ng chi lhm c~ng tic tri~t hoc c~ trinh d~ ton khong I~p 10, c the qua quyen sch nh n~y m~ hi~u them v~n d~ ôkh~ng gian v~ th~i gianằ. Ph~ bi~n m t ki~n th~rc ton hoc hi@n dai b~ng cc cong cu so c?p l m t di~u kh~ kh~n. B~i v~y, quyen sch n~y chic kh~ng tr~nh khi c~ nhi~u thi~u st. Mong r~ng doc gi~ s~ 6ng gp nhi~u y ki~n cho tc gi~.

Hi-n~i, ng~y 20-8-1963

) NGUYEN CANH TOAN . . .

f I . SO LU'QC HiNH HQC GI~I T[CH

(1) ax +by == c

O' cp hoc ph~ thong, hoc sinh di khi quen v~i mon hinh hoe. V~ noi dung, hoc sinh bu~c d~u l~m quen vi uh~rng tiuh ch~t c~a khong gian thong th~n, tic l~ khong gian O-clit ba chi~n. V~ phurong php, c~c em du@c thy day cho phuong php tong hop, tic l~ phong ph~p chrng minh khong ding d~n toa d. N6i ding hon thi cc em c~ng d~ l~m quen it nhi~u v~i phong phap gi~i tich, t~c l~ phuong php ding toa do, nhurng khong ph~i trong mon hinh hoc, m~ trong mon dai s6, chuon bi~u di~n c~c ham s6. C6 lE cc em khong ng r~ng phuong ph~p toa do d~ lai dong mot vai tr~ c~ th~ n~i l~ c~ch mang trong ljch s~ to~n hoc v~ chinh n~ s~ d~n chng ta d~n ch6 nm dugc b~n ch~t khong gian n chi~u l~ gi. B&i v~y, tru~c khi di v~o trinh b~y khon gian n chi~u, cbing ta hay nhc lai v~ b~ sung th~m mt s6 kin tbc v~ hinh hoc gi~i tich. Tr~c h~t ta h~y nbi v~ hiuh hoc ph~ng. Phong trinh c~a mot dung thing. Troung mit ph~ng, khi ta d~ chon mot h~ truc toa do vuong g~c thi, nuhu di hi~t ~ chong trinh ~p b~y, phupng trinh c~a mt dong th~ng c~ dang:

N~u a = 0 thi dong th~ng song song vii truc ho~nh, con n~u b == 0 thi no song song v~i true tung. N~u c == 0 thi du~ng th~ng di qua g~c toa d~.

3

(1 (2)

Hinh 1 I

bwvrng th~nq ring nhan. Hai during th~ng ax -t by = c a'x4-by=c'

g ·> ,e. a b c s? tring! vi n l a u n~u - = == - , a' h' c' vi n~u ta dem nh~n c~ hai v~ c~a phong trinh () vii a 1' h c ) · -· -z/hay . hay --] thi ta s? c~ phtong trinh (1). ' ' c ' I) . l " '"... a h e I h won@ t h n son on@. Neu - = f Lh i hai · · · · a' h' c' du~ng; th~ng (I) v~ (2) s~ song song v~i nha vi, n~u ta dem gii h~ g~m hai phurong trinh be nh~t (1) v~ () thi h~ s~ khon c nghi~m (vi ab' ba'=0 m~ bc'-- cb'± 0, ac' - ca'=± 0) nghia l~ hai du~ng th~ng khong c~t nhau. Duong th~ng vuong g~c. Ta hy x~t xem trong dieu ki~n n~o thi hai du~ng thug (1) v~.(2) vuong goc v~i nha. Mu~n v~y, ta chi c~n x~t xem hai du~ng th~pg ax+by = 0 . ( 3 ) a'x Lb'y==0 (4) c~ vuong g~c v~i nhau khong vi hai du~ng nay theo th~r tur song song v~i hai dung (1) va (2). Ta ly during th~ng x = 1 , c~t truc Ox ~ H, c~t c ~ c d o n g th~ng (3) v~ (4) theo th tr ~ A v~ B. Trong phuoug trinh (3), n~u ta cho x = 1 thi ta s~ c~:

4